求全微分的两种方法
- 来源：互联网
- 发布时间：2026-05-07 13:51:33
1. 利用链式法则求全微分。链式法则是指如果一个函数 $y=f(u)$ 和另一个函数 $v=g(u)$ 满足 $v=g(u)=u^n+a_{n-1}u^{n-2}+cdots+a_1u+a_0$,则有：
$$
frac{dy}{du}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=v'(x)cdot v(x)
$$
其中$v'(x)$ 表示 $v=g(u)$ 对 $u$ 的导数，$v(x)$ 表示 $v=g(u)$ 在点 $x$ 处的函数值。
2. 利用偏导数求全微分。偏导数是指函数在某一点处沿着某个坐标轴变化时，该坐标轴上的导数。所以对于一个多元函数 $y=f(u_1, u_2, cdots, u_n)$,其在点 $(x_1, x_2, cdots, x_n)$ 处的全微分可以表示为：
$$
frac{partial y}{partial x_i}=lim_{Delta x
o 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x
o 0}frac{partial f}{partial u_i}cdotfrac{partial u_i}{partial x_i}
$$
其中$frac{partial f}{partial u_i}$ 表示 $f$ 对第 $i$ 个自变量 $u_i$ 的偏导数，$frac{partial u_i}{partial x_i}$ 表示第 $i$ 个自变量 $u_i$ 对第 $j$ 个自变量 $x_j$ 的偏导数。<br/>
